物理の本
詳細pdf版
Peskin 1
Peskin 2
Peskin 3
Peskin 4
Peskin 5
Peskin 6
Peskin 7
Peskin 8
Peskin & Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory
Chapter 21: Quantization of Spontaneously Broken Gauge Theories
Problem 21.1: Weak interaction contribution to the muon \(g-2\)
教科書本文では導出されていないFeynmar ruleを導出する．文献によってconventionが異なるのがややこしい
Feynman rules of Goldstone bosons
(20.98)からlepton, neutrinoと\(SU(2)\) scalarの相互作用は
\[ \Delta\mathcal{L}_e = - \lambda_e \bar{E}_L \phi e_R + (\text{h.c}) \]
(21.38)(21.79)(20.75)を代入して
\begin{align*}
- \lambda_e \bar{E}_L \phi e_R &= - \lambda_e
\begin{pmatrix}
\bar{\nu}_L & \bar{e}_L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-i \phi^- \\
(v+h+i\phi^3)/\sqrt{2}
\end{pmatrix}
e_R \\
%
&= i \lambda_e \bar{\nu}_L e_R \phi^- - \frac{\lambda_e}{\sqrt{2}} \bar{e}_L e_R (v+h+i\phi^3) .
\end{align*}
(20.63)(20.100)から
\[ \lambda_e = \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_e}{m_W} . \]
よって
\begin{align}
\Delta\mathcal{L}_e = i \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_e}{m_W} \bar{\nu}_L e_R \phi^-
- \frac{g}{2} \frac{m_e}{m_W} \bar{e}_L e_R (v+h+i\phi^3) + (\text{h.c}) .
\label{problem21_1_Lag_e}
\end{align}
\(e\nu\phi^-\), \(e\nu\phi^+\)の頂点は
(6)から
\[
\mathcal{L}_\text{Higgs} = ie \frac{gv}{2} A^\mu \phi^+ W^+_\mu - i e \frac{gv}{2} A^\mu \phi^- W^-_\mu .
\]
(20.63)を代入して
\[
i\mathcal{L}_\text{Higgs} = - em_W A^\mu \phi^+ W^+_\mu + em_W A^\mu \phi^- W^-_\mu .
\]
\(A\phi^+W^+\), \(A\phi^-W^-\)の頂点は
Problem 21.4: Dependence of radiative corrections on the Higgs boson mass
Feynman rules of Higgs bosons
(6)から
\[
i\mathcal{L}_\text{Higgs} = i \frac{g^2}{4} W^+_\mu W^-\nu (v+h+i\phi^3) (v+h-i\phi^3) g^{\mu\nu} + \cdots .
\]
\(W^+W^-h\)の頂点は
\(W^+W^-hh\)の頂点は\(h\)の縮約が２通りあることに注意して，
(6)から
\[
i\mathcal{L}_\text{Higgs} = i \frac{g}{2}
\left[ (\partial_\mu\phi^+) W^+_\nu h - (\partial_\mu h) W^+_\nu \phi^+
+ (\partial_\mu\phi^-) W^-_\nu h - (\partial_\mu h) W^-_\nu \phi^- \right] g^{\mu\nu} + \cdots .
\]
\(W^-\phi^-h\), \(W^+\phi^+h\)の頂点は
(6)から
\[
i\mathcal{L}_\text{Higgs} = i \frac{1}{8} \frac{g^2}{\cos^2\theta_w} Z^0_\mu Z^0_\nu (v+h+i\phi^3) (v+h-i\phi^3) g^{\mu\nu} + \cdots .
\]
\(Z^0Z^0h\)の頂点は\(Z^0\)の縮約が２通りあることに注意して，
\(Z^0Z^0hh\)の頂点は\(Z^0\)の縮約が２通り，\(h\)の縮約が２通りあることに注意して，
(6)から
\begin{align*}
i\mathcal{L}_\text{Higgs} &= \frac{g}{4\cos\theta_w}
\left[ \partial_\mu(h+i\phi^3) (v+h-i\phi^3) - \partial_\mu(h-i\phi^3) (v+h+i\phi^3) \right] Z^0_\nu g^{\mu\nu} + \cdots \\
&= \frac{ig}{2\cos\theta_w} \left[ \partial_\mu\phi^3 h - \phi^3 \partial_\mu h \right] Z^0_\nu g^{\mu\nu} + \cdots \\
\end{align*}
\(Z^0\phi^3h\)の頂点は
Final Project III: Dicays of the Higgs Boson
(a)
\eqref{problem21_1_Lag_e}から
\[
\Delta\mathcal{L}_e = i \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_e}{m_W} \bar{\nu}_L e_R \phi^-
- \frac{g}{2} \frac{m_e}{m_W} \bar{e}_L e_R (v+h+i\phi^3) + (\text{h.c.})
\]
\(h\bar{e}e\)の頂点は
(20.101)からquarkと\(SU(2)\) scalarの相互作用は
\[
\Delta\mathcal{L}_q = - \lambda_d \bar{Q}_L \phi d_R - \lambda_u \epsilon^{ab} \bar{Q}_{La} \phi^\dagger_b u_R + (\text{h.c.})
\]
\(\Delta\mathcal{L}_q\)の第１項は(21.38)(21.79)(20.75)を代入して
\begin{align*}
- \lambda_d \bar{Q}_L \phi d_R &= - \lambda_d
\begin{pmatrix}
\bar{u}_L & \bar{d}_L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-i \phi^- \\
(v+h+i\phi^3)/\sqrt{2}
\end{pmatrix}
d_R \\
%
&= i \lambda_d \bar{u}_L d_R \phi^- - \frac{\lambda_d}{\sqrt{2}} \bar{d}_L d_R (v+h+i\phi^3) .
\end{align*}
(20.63)(20.103)から
\[ \lambda_d = \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_d}{m_W} . \]
よって
\[
- \lambda_d \bar{Q}_L \phi d_R =
i \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_d}{m_W} \bar{u}_L d_R \phi^-
- \frac{g}{2} \frac{m_d}{m_W} \bar{d}_L d_R (v+h+i\phi^3) + (\text{h.c.})
\]
\(h\bar{d}d\)の頂点は
\(\Delta\mathcal{L}_q\)の第２項は
\begin{align*}
- \lambda_u \epsilon^{ab} \bar{Q}_{La} \phi^\dagger_b u_R &= - \lambda_u
\begin{pmatrix}
\bar{u}_L & \bar{d}_L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
& 1 \\ -1 &
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i \phi^+ \\
(v+h-i\phi^3)/\sqrt{2}
\end{pmatrix}
u_R \\
&= i \lambda_u \bar{d}_L u_R \phi^+ - \frac{\lambda_u}{\sqrt{2}} \bar{u}_L u_R (v+h-i\phi^3) \\
&= i \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{m_u}{m_W} \bar{d}_L u_R \phi^+ - \frac{g}{2} \frac{m_u}{m_W}\frac{\lambda_u}{\sqrt{2}} \bar{u}_L u_R (v+h-i\phi^3) \\
\end{align*}
\(h\bar{u}u\)の頂点は
以上から，lepton, quarkいずれの場合も
(b)
(6)と(20.63)から
\begin{align*}
\mathcal{L}_\text{Higgs} &= - \frac{g^2}{8} \frac{m_h{}^2}{m_W{}^2}
\left[ \phi^+\phi^- + \frac{(v+h)^2+(\phi^3)^2}{2} \right]^2 + \cdots \\
%
&= - \frac{g^2}{8} \frac{m_h{}^2}{m_W{}^2}
\left[ 2v \phi^+ \phi^- h + 2v (\phi^3)^2 h \right] + \cdots \\
%
&= - \frac{g^2}{2} \frac{m_h{}^2}{m_W} \phi^+ \phi^- h
- \frac{g^2}{2} \frac{m_h{}^2}{m_W} (\phi^3)^2 h + \cdots .
\end{align*}
\(h\phi\phi\)の頂点は
(f)
Feynman rules of Higgs boson and photon
上で示したように
(6)から
\[
\mathcal{L}_\text{Higgs} = i \frac{ge}{2} W_\mu^+ A^\mu h \phi^+
- i \frac{ge}{2} W_\mu^- A^\mu h \phi^- + e^2 A_\mu A^\mu \phi^+ \phi^- + \cdots
\]
なので
\(SU(2)\)の構造定数は\(\epsilon^{abc}\)なので(16.6)から
\[
\mathcal{L}_\text{gauge} = - \frac{1}{4} g^2 (\epsilon^{eab} A_\kappa^a A_\lambda^b) (\epsilon^{ecd}A^{\kappa c}A^{\lambda d}) + \cdots
\]
\((abcd) = (1133)\)となるのは
- \(a=1\), \(b=3\), \(c=1\), \(d=3\)
- \(a=3\), \(b=1\), \(c=3\), \(d=1\)
- \(a=1\), \(b=3\), \(c=3\), \(d=1\)
- \(a=3\), \(b=1\), \(c=1\), \(d=3\)
の場合．\((abcd) = (2233)\)も同様に計算すれば
\[
- \frac{g^2}{2} \left( A_\kappa^1 A^{\kappa1} A_\lambda^3 A^{\lambda3}
+ A_\kappa^2 A^{\kappa2} A_\lambda^3 A^{\lambda3}
- A_\kappa^1 A^{\kappa3} A_\lambda^1 A^{\lambda3}
- A_\kappa^2 A^{\kappa3} A_\lambda^2 A^{\lambda3} \right) .
\]
(20.63)(20.64)(20.72)から
\[
A_\mu^1 = \frac{W^+_\mu + W^-_\mu}{\sqrt{2}} , \quad
A_\mu^2 = i \frac{W^+_\mu - W^-_\mu}{\sqrt{2}} , \quad
\quad A_\mu^3 = \frac{1}{\sin\theta_w} A_\mu
\]
なので，
\begin{align*}
= g^2 \left( A^\kappa W^+_\kappa A^\lambda W^-_\lambda - W^+_\kappa W^{{-}\kappa} A_\lambda A^\lambda \right) .
\end{align*}
\(A^\mu A^\nu W^+_\rho W^-_\sigma\)との縮約を考える．
第１項は
- \(\kappa=\mu\), \(\lambda=\nu\), \(\lambda=\rho\), \(\kappa=\sigma\)
- \(\kappa=\nu\), \(\lambda=\mu\), \(\lambda=\rho\), \(\kappa=\sigma\)
の縮約が可能で，それぞれ\(\delta^\mu_\sigma \delta^\nu_\rho\)および\(\delta^\mu_\rho \delta^\nu_\sigma\)となる．
第２項は\(A^\lambda\)の縮約が２通りあるので\(2g^{\mu\nu} g_{\rho\sigma}\)．
以上から
Feynman rules of ghosts
ghost Lagrangianの計算から
\begin{align*}
\mathcal{L}_\text{ghost} &= -ie \bar{c}^+ \partial^\mu A_\mu c^+ + ie \bar{c}^- \partial^\mu A_\mu c^- - \frac{g}{2} m_W \bar{c}^+ c^+ h - \frac{g}{2} m_W \bar{c}^- c^- h + \cdots \\
&\to ie (\partial^\mu\bar{c}^+) A_\mu c^+ - ie (\partial^\mu\bar{c}^-) A_\mu c^- - \frac{g}{2} m_W \bar{c}^+ c^+ h - \frac{g}{2} m_W \bar{c}^- c^- h + \cdots \\
\end{align*}
から
