場の量子論の標準的テキスト．個人的に思い入れの深い（？）トピックをまとめた．問題の解答・解説などを書く予定．
場のFourier変換はxxiのように \[ \phi(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} e^{-ik\cdot x} \phi(k) , \quad \phi(k) = \int d^4x \, e^{ik\cdot x} \phi(x) \] と定める．Fermionの場合は \[ \psi(p) = \int d^4x \, e^{ip\cdot x} \psi(x) , \quad \bar\psi(p) = \int d^4x \, e^{-ip\cdot x} \bar\psi(x) \] とする（\(\bar\psi(p)\)は\(\psi(p)\)のHermite共役に対し右から\(\gamma^0\)をかけたもの？明記されてない）． Propagatorは \begin{align*} \braket{\psi(p) \bar\psi(q)} &= \int d^4x \, e^{ip\cdot x} \int d^4y \, e^{-iq\cdot x} \braket{\psi(x) \bar\psi(y)} \\ &= \int d^4x \, e^{ip\cdot x} \int d^4y \, e^{-iq\cdot y} \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i\cancel{k}}{k^2} e^{-ik\cdot(x-y)} \\ &= \frac{i\cancel{p}}{p^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(p-q) . \end{align*}
この本で一番大事なchapter．LagrangianもしくはHamiltonianからFeynman ruleを抽出できるようになるのが大事． Feynman diagramは直観的で便利だが，怪しいと思ったら$\exp(i\int\mathcal{L})$, $\exp(-i\int\mathcal{H})$の展開に立ち戻るべき（少なくとも私はそうする）． Lagrangianに微分が入っている場合は「運動量\(p\)が入る＝$e^{-ip\cdot x}$」を使う．
上で述べたことを自分で行う非常に良い練習問題
ポテンシャルは \[ V = -\frac{1}{2} \mu^2 \boldsymbol\Phi \cdot \boldsymbol\Phi + \frac{\lambda}{4} (\boldsymbol\Phi \cdot \boldsymbol\Phi)^2 - a \Phi^N \] で与えられる．$V$が$\Phi^i = 0$で極小となる$v$を求める． \[ \frac{\partial V}{\partial \Phi^i} = (-\mu^2 + \lambda \boldsymbol\Phi \cdot \boldsymbol\Phi) \Phi^i - a \delta^{iN} \] に$\Phi^i = 0 ~ (1 \leq i \leq N-1)$, $\Phi^N = v$を代入して， \[ (-\mu^2 + \lambda v^2) v \delta^{iN} - a \delta^{iN} = 0 .\] $a$は十分小さいので， \[ v = \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \frac{a}{2\mu^2} \] であり， \[ \Phi^N = \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma + \frac{a}{2\mu^2} . \] $V$の表式は \begin{align*} V &= -\frac{1}{2} \mu^2 \boldsymbol\Phi \cdot \boldsymbol\Phi + \frac{\lambda}{4} (\boldsymbol\Phi \cdot \boldsymbol\Phi)^2 - a \Phi^N \\ &= -\frac{\mu^2}{2} \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma + \frac{a}{2\mu^2} \right)^2 \right\} + \frac{\lambda}{4} \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma + \frac{a}{2\mu^2} \right)^2 \right\}^2 - a \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma + \frac{a}{2\mu^2} \right) \\ &\simeq -\frac{\mu^2}{2} \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 + 2 \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)\frac{a}{2\mu^2} \right\} \\ & \quad + \frac{\lambda}{4} \left[ \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 \right\}^2 + 2 \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 \right\} 2 \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)\frac{a}{2\mu^2} \right] \\ & \quad - a \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma \right). \end{align*} $a$を含まない項を先に計算する（これは(b)で計算した）： \begin{align*} V_0 &= -\frac{\mu^2}{2} \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 \right\} + \frac{\lambda}{4} \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 \right\}^2 \\ &= -\frac{\mu^2}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) - \frac{\mu^2}{2} \left( \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right) + \frac{\lambda}{4} \left\{ (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) + \left( \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right) \right\}^2 \\ &= -\frac{\mu^2}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) - \frac{\mu^2}{2} \left( \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right) \\ &\quad + \frac{\lambda}{4} \left\{ (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) + 2 (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \left( \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right) + \left( \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right)^2 \right\} \\ &= -\frac{\mu^2}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) - \frac{\mu^4}{2\lambda} - \frac{\mu^3}{\sqrt{\lambda}}\sigma - \frac{\mu^2}{2}\sigma^2 \\ &\quad + \frac{\lambda}{4}(\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi)^2 + \frac{\mu^2}{2}(\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) + \sqrt{\lambda}\mu (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma + \frac{\lambda}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma^2 \\ &\quad + \frac{\mu^4}{4\lambda} + \mu^2\sigma^2 + \frac{\lambda}{4}\sigma^4 + \frac{\mu^3}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \frac{1}{2}\mu^2\sigma^2 + \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 \\ &= - \frac{\mu^4}{4\lambda} + \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 + \mu^2\sigma^2 + \frac{\lambda}{4}\sigma^4 + \frac{\lambda}{4}(\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi)^2 + \sqrt{\lambda}\mu (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma + \frac{\lambda}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma^2 . \end{align*} 次に，$a$を含む項を計算する： \begin{align*} V_a &= -\mu^2 \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)\frac{a}{2\mu^2} + \lambda \left\{ \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)^2 \right\} \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma\right)\frac{a}{2\mu^2} - a \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma \right) \\ &= a \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma \right) \left\{ -\frac{3}{2} + \frac{\lambda}{2\mu^2} \left( \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi + \frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right) \right\} \\ &= a \left( \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma \right) \frac{\lambda}{2\mu^2} \left( \boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi - 2\frac{\mu^2}{\lambda} + 2\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sigma + \sigma^2 \right). \end{align*} 以上から \begin{align*} V &= V_0 + V_a \\ &= \frac{1}{2}\left( 2\mu^2 + \frac{3a\sqrt{\lambda}}{\mu} \right) \sigma^2 + \frac{1}{2} \frac{a\sqrt{\lambda}}{\mu} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \\ &\quad + \left( \sqrt{\lambda}\mu + \frac{a\lambda}{2\mu^2} \right) (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma + \left( \sqrt{\lambda}\mu + \frac{a\lambda}{2\mu^2} \right) \sigma^3 + \frac{\lambda}{4} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi)^2 + \frac{\lambda}{2} (\boldsymbol\pi \cdot \boldsymbol\pi) \sigma^2 + \frac{\lambda}{4} \sigma^4 \\ &\quad + \text{const}. \end{align*}
質量は \[ m_\sigma{}^2 = 2\mu^2 + \frac{3a\sqrt{\lambda}}{\mu} , \quad m_\pi{}^2 = \frac{a\sqrt{\lambda}}{\mu} . \] propagatorは
$T$行列要素 \[ T = \Braket{ p_3^k p_4^l | T \exp\left( - \int d^4x\, \mathcal{H}_\text{int} \right) | p_1^i p_2^j } \] を計算する．
まず，$2$次の展開を考える： \[ \sum_{m, n} \Braket{ 0 | a_{\boldsymbol{p_3}}^k a_{\boldsymbol{p_4}}^l \frac{(-i)^2}{2!} (\sqrt{\lambda}\mu)^2 \int d^4x\, d^4y\, \delta^{mm'} \delta^{nn'} N\{ \pi^m(y) \pi^{m'}(y) \sigma(y) \pi^n(x) \pi^{n'}(x) \sigma(x) \} a_{\boldsymbol{p_1}}^{i\dagger} a_{\boldsymbol{p_2}}^{j\dagger} | 0 } . \]
運動量・spinに対するspinorを正しく書けるのが重要．特にantifermionはspinorとしてのspin, helicityと粒子のspin, helicityが逆になる．
Dirac方程式の解は(A.19)で与えられる： \[ u^s(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \xi^s \\[5pt] \sqrt{p \cdot \overline\sigma} \xi^s \end{pmatrix} , \quad v^s(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \eta^s \\[5pt] - \sqrt{p \cdot \overline\sigma} \eta^s \end{pmatrix} . \] 高エネルギー極限では(A.20)のように， \[ u^s(p) \approx \sqrt{2E} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (1 - \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \xi^s \\[5pt] \frac{1}{2} (1 + \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \xi^s \end{pmatrix} , \quad v^s(p) \approx \sqrt{2E} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (1 - \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \eta^s \\[5pt] - \frac{1}{2} (1 + \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \eta^s \end{pmatrix} . \]
電子は$z$方向のspin上向きなので，spinorは$\xi = {}^\top(1, 0)$． $\hat{p} = (0, 0, 1)$の向きに進むので，helicityは右． $\hat{p}\cdot\boldsymbol\sigma = \sigma^3$なので， \[ u \approx \sqrt{2E} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (1 - \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \xi \\[5pt] \frac{1}{2} (1 + \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \xi \end{pmatrix} \\ = \sqrt{2E} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} . \] 陽電子は$z$方向の粒子spinが上向きなので，spinorは$\eta = {}^\top(0, 1)$． $\hat{p} = (0, 0, -1)$の向きに進むので，粒子helicityは左． $\hat{p}\cdot\boldsymbol\sigma = - \sigma^3$なので， \[ v \approx \sqrt{2E} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (1 - \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \eta \\[5pt] - \frac{1}{2} (1 + \hat{p} \cdot \boldsymbol\sigma) \eta \end{pmatrix} = \sqrt{2E} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} . \]
入射電子は$-z$の向きに進み，helicityは右とする． $z$方向のspin下向きなので \[ \hat{p} = (0, 0, -1) ,\quad \xi = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\quad u(p) = \sqrt{2E} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} . \] (5.97)が非零となるのは散乱電子$u^\dagger(p')$の第3, 4成分が非零，すなわちhelicityが右の場合． さらに，電子は$+z$側に散乱される(Figure 5.6)ので，$\xi^\dagger = (1, 0)$である．