Lagrangianは \[ \mathcal{L} = u_L^\dagger i \bar\sigma^\mu D_\mu u_L + d_L^\dagger i \bar\sigma^\mu D_\mu d_L + (R) . \] $U(1)$微小変換は \[ \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} \to e^{-i\epsilon} \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-i\epsilon} u_L \\ e^{-i\epsilon} d_L \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} (1-i\epsilon) u_L \\ (1-i\epsilon) d_L \end{pmatrix} \] で与えられる．この変換で$\mathcal{L}$は不変なので，付随するカレントは \begin{align*} \epsilon j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu u_L} \Delta u_L + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu d_L} \Delta d_L = u_L^\dagger i \bar\sigma^\mu (-i\epsilon u_L) + d_L^\dagger i \bar\sigma^\mu (-i\epsilon d_L) . \end{align*} 一方で \[ Q_L = \left( \frac{1-\gamma^5}{2} \right) \begin{pmatrix} u \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1-\gamma^5}{2} u \\ \frac{1-\gamma^5}{2} d \end{pmatrix} \] に対し \begin{align*} \bar{Q}_L \gamma^\mu Q_L &= \begin{pmatrix} \bar{u} \frac{1+\gamma^5}{2} & \bar{d} \frac{1+\gamma^5}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma^\mu \frac{1-\gamma^5}{2} u \\ \gamma^\mu \frac{1-\gamma^5}{2} d \end{pmatrix} \\ &= \bar{u} \frac{1+\gamma^5}{2} \gamma^\mu \frac{1-\gamma^5}{2} u + (d) \\ &= \begin{pmatrix} u_R^\dagger & u_L^\dagger \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \sigma^\mu \\ \bar\sigma^\mu & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_L \\ u_R \end{pmatrix} + (d) \\ &= u_L^\dagger \bar\sigma^\mu u_L + (d) \end{align*} なので$j^\mu = \bar{Q}_L \gamma^\mu Q_L$． $SU(2)$微小変換は \[ \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} \to e^{-i\epsilon_a \tau^a} \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-i\epsilon_a \tau^a} u_L \\ e^{-i\epsilon_a \tau^a} d_L \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} (1-i\epsilon_a \tau^a) u_L \\ (1-i\epsilon_a \tau^a) d_L \end{pmatrix} \] で与えられる．後は同様．
Higgs機構と$SU(2)\times U(1)_Y$ gauge理論の導入を行う． Higgs場は$\phi\in\mathbb{C}^2$だが，一部の箇所ではこれを$\mathbb{R}^4$の元として表し，さらに1成分を無視（$\mathbb{R}^3$へ沈め込み）する． 本書の一部では$SU(2)$のvector representationと呼ばれているが，一般的な用語ではなさそう． $SU(2)$群の生成子は$M_2(\mathbb{C})$行列なので，vector representationの下では$M_4(\mathbb{R})$行列になる． 計算箇所によっては$M_2(\mathbb{C})$のままで行う箇所があったり，$\mathbb{R}^4$で行う箇所がありややこしい（しかも明示されていない！）． (20.22)の例では$SU(2)$の基本表現に属する$\phi \in \mathbb{C}^2$を考えているが，$\phi \in \mathbb{R}^3$へ沈め込むと$SU(2)$の随伴表現に属するように見える．
\(\mathbb{C}^2\) scalarを\(\mathbb{R}^4\) vectorとして表す． (21.38)から \begin{align} \mathbb{C}^2 \ni \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ h \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \label{20_27_C2toR4} \end{align} とする．この対応により\(T^a\)は\(4\times4\)行列となる． (20.14)から \[ T^a = -i t^a = - \frac{i}{2} \sigma^a . \] \(a=1\)なら \begin{align*} T^1 \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ h \end{pmatrix} &= - \frac{i}{2} \sigma^1 \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} & -i \\ -i & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \phi^3 - ih \\ -\phi^1 + i \phi^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} h \\ -\phi^3 \\ \phi^2 \\ -\phi^1 \end{pmatrix} \end{align*} なので \[ T^1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & -1 & \\ & 1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix} . \] \(a=2\)なら \begin{align*} T^2 \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ h \end{pmatrix} &= - \frac{i}{2} \sigma^2 \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} & -1 \\ 1 & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -h - i\phi^3 \\ -\phi^2 - i \phi^1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \phi^3 \\ h \\ -\phi^1 \\ -\phi^2 \end{pmatrix} \end{align*} なので \[ T^2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & 1 \\ -1 & & & \\ & -1 & & \end{pmatrix} . \] \(a=3\)なら \begin{align*} T^3 \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ h \end{pmatrix} &= - \frac{i}{2} \sigma^3 \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i & \\ & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^1 + i \phi^2 \\ -\phi^3 + ih \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -\phi^2 \\ \phi^1 \\ h \\ -\phi^3 \end{pmatrix} \end{align*} なので \[ T^3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & -1 & & \\ 1 & & & \\ & & & 1 \\ & & -1 & \end{pmatrix} . \] 以上から \begin{align} \begin{split} T^1 &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & -1 & \\ & 1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix} , \quad T^2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & 1 \\ -1 & & & \\ & -1 & & \end{pmatrix} , \quad T^3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & -1 & & \\ 1 & & & \\ & & & 1 \\ & & -1 & \end{pmatrix} . \end{split} \label{20_27_TR4} \end{align} これらを \[ \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \] に制限すれば \begin{align} T^1 = \begin{pmatrix} & & \\ & & -1 \\ & 1 & \end{pmatrix} , \quad T^2 = \begin{pmatrix} & & 1\\ & & \\ -1 & & \end{pmatrix} , \quad T^3 = \begin{pmatrix} & -1 & \\ 1 & & \\ & & \end{pmatrix} . \label{20_27_TR3} \end{align} 特に，\(a=1, 2, 3\)に対して \[ (T^a)_{bc} = \epsilon^{bac} . \] (20.27)右辺は\(\phi^c \in \mathbb{R}^3\)に変換したvector． \(\phi \in \mathbb{C}^2\)は\(SU(2)\)の基本表現に属するが，\(\mathbb{R}^3\) vectorへの変換によって（見かけ上）随伴表現に属している．
(21.18)の相互作用項のうち，\(\varphi\)を含む項は(21.3)(21.5)より \[ \bar\psi_L \phi \psi_R + \bar\psi_R \phi^\ast \psi_L = \bar\psi \frac{1+\gamma^5}{2} \psi \frac{i\varphi}{\sqrt{2}} + \bar\psi \frac{1-\gamma^5}{2} \psi \frac{-i\varphi}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \varphi (\bar\psi\gamma^5\psi) . \]
\(SU(2) \times U_Y(1)\)基本表現に属する\(\phi\)の共変微分は(20.60)で与えられる： \begin{align*} (D_\mu\phi)_i &= \partial_\mu\phi_i - igA^a_\mu (\tau^a)_{ij} \phi_j - i g' B_\mu \frac{1}{2} \phi_i \\ &= \partial_\mu\phi_i + gA^a_\mu \left[-i(\tau^a)_{ij}\right] \phi_j + g' B_\mu \left[-\frac{i}{2}\delta_{ij}\right] \phi_j . \end{align*} これを(21.33)の形に合わせる． \[ (D_\mu\phi)_i = \partial_\mu\phi_i + gA^a_\mu (T^a)_{ij} \phi_j \quad (a=1,2,3,Y) \] とすれば\(a=1,2,3\)に対しては \[ A^a_\mu = A^a_\mu , \quad T^a = -i \tau^a = T^a . \] \(a=Y\)の場合は（p. 742の\(g^2FF^T\)の計算の後ろに書かれているように\(g \to g'\)と解釈する） \[ A^Y_\mu = B_\mu , \quad T^Y = -\frac{i}{2} . \] ここで\eqref{20_27_TR4}の導出と同様にすれば\(T^Y\)の変換は \[ T^Y \begin{pmatrix} \phi^1 \\ \phi^2 \\ \phi^3 \\ h \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i & \\ & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\phi^2 - i \phi^1 \\ h + i\phi^3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\phi^1 + i \phi^2 \\ \phi^3 - ih \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\phi^2 \\ \phi^1 \\ -h \\ \phi^3 \end{pmatrix} \] なので \begin{align} T^Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} & -1 & & \\ 1 & & & \\ & & & -1 \\ & & 1 & \end{pmatrix} . \label{21_39_TY} \end{align} \(\mathbb{C}^2\)から\(\mathbb{R}^4\)に変換して計算する． \eqref{20_27_C2toR4}から \[ \phi_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ v \end{pmatrix} \] である．\eqref{20_27_TR4}を使えば \[ T^1\phi^0 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} v \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad T^2\phi^0 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad T^3\phi^0 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v \\ 0 \end{pmatrix} , \quad T^Y\phi^0 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -v \\ 0 \end{pmatrix} . \] 第4成分（真空期待値\(v\)とHiggs場\(h\)）が\(0\)なので無視できる． (21.36)の定義から \[ F^a{}_i = T^a_{ij} \phi_{0j} = \frac{v}{2} \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ & & -1 \\ \end{pmatrix} , \quad (a = 1, 2, 3, Y; i = 1, 2, 3) . \] \(a=Y\)の場合は\(g \to g'\)とするので \[ gF^a{}_i = \frac{v}{2} \begin{pmatrix} g & & \\ & g & \\ & & g \\ & & -g' \\ \end{pmatrix} . \]
gauge bosonの縦波成分がGoldstone bosonに相当する
Feynman-'t Hooft gauge (\(\xi=1\))とすれば \[ \braket{ {A^a_\mu}(k) {A^b_\nu}(q) } = \frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2-m_W{}^2} \delta^{ab} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k+q) . \] (20.63)の定義から \begin{align*} \braket{ {W^+_\mu}(k) {W^-_\nu}(q) } &= \frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2-m_W{}^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k+q) , \\ \braket{ {W^+_\mu}(k) {W^+_\nu}(q) } &= \braket{ {W^-_\mu}(k) {W^-_\nu}(q) } = 0. \end{align*}
ゲージ群\(SU(2)\times U_Y(1)\)の生成子\(T^a~(a=1, 2, 3, Y)\)に対応してghostは4つ存在する． ここで \begin{gather*} c^+ = \frac{c^1+ic^2}{\sqrt{2}} , \quad c^- = \frac{c^1-ic^2}{\sqrt{2}} , \quad c^Z = c^3 \cos\theta_w - c^Y \sin\theta_w , \quad c^A = c^3 \sin\theta_w + c^Y \cos\theta_w , \\ % \bar{c}^+ = \frac{\bar{c}^1-i\bar{c}^2}{\sqrt{2}} , \quad \bar{c}^- = \frac{\bar{c}^1+i\bar{c}^2}{\sqrt{2}} , \quad \bar{c}^Z = \bar{c}^3 \cos\theta_w - \bar{c}^Y \sin\theta_w , \quad \bar{c}^A = \bar{c}^3 \sin\theta_w + \bar{c}^Y \cos\theta_w \end{gather*} とする．Lagragianは(21.52)から \begin{align*} \mathcal{L}_\text{ghost} &= \bar{c}^a \left[ - (\partial_\mu D^\mu)^{ab} - g^2 (T^a\phi_0) \cdot (T^b\phi) \right] c^b \\ &= \bar{c}^a \left[ - \partial^2 \delta^{ac} - g f^{abc} \partial_\mu A^b_\mu - g^2 (T^a\phi_0) \cdot (T^c\phi) \right] c^c . \end{align*} \eqref{20_27_TR4}\eqref{21_39_TY}から構造定数を求めれば\(f^{12Y} = 1\)． これを使って計算すれば（計算詳細） \begin{align} \begin{split} \braket{ {c^+}(k) {\bar{c}^+}(q) } &= \braket{ {c^-}(k) {\bar{c}^-}(q) } = \frac{i}{k^2-m_W{}^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k-q) , \\ \braket{ {c^Z}(k) {\bar{c}^Z}(q) } &= \frac{i}{k^2-m_Z{}^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k-q) , \\ \braket{ {c^A}(k) {\bar{c}^A}(q) } &= \frac{i}{k^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k-q) . \end{split} \label{21_56_eigen_ghost_propagator} \end{align}
Goldstone bosonのpropagatorは(21.55)から \[ \braket{ {\phi_i}(k) {\phi_j}(q) } = \frac{i}{k^2-m^2} \delta_{ij} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k+q) . \] (21.79)の定義から \begin{align*} \braket{ {\phi_+}(k) {\phi_-}(q) } &= \frac{i}{k^2-m_W{}^2} (2\pi)^4 \mathop{\delta^{(4)}}(k+q) , \\ \braket{ {\phi_+}(k) {\phi_+}(q) } &= \braket{ {\phi_-}(k) {\phi_-}(q) } = 0 . \end{align*} (21.38)(21.79)から\(SU(2)\) scalar場は \[ \phi = \begin{pmatrix} -i \phi^- \\ (v+h+i\phi^3)/\sqrt{2} \end{pmatrix} , \quad \phi^\dagger = \begin{pmatrix} i\phi^+ & \dfrac{v+h-i\phi^3}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] となる． (20.60)に(20.65)(20.66)の結果を適用(\(Y=1/2\))して \[ D_\mu = \partial_\mu - i\frac{g}{\sqrt{2}} (W^+_\mu T^+ + W^-_\mu T^-) - i \frac{1}{\sqrt{g^2+g'^2}} Z^0_\mu (g^2T^3 - g'^2/2) - i\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}} A_\mu (T^3+1/2) . \] (20.68)を代入して \[ D_\mu = \partial_\mu - i\frac{g}{\sqrt{2}} (W^+_\mu T^+ + W^-_\mu T^-) - i \frac{1}{\sqrt{g^2+g'^2}} Z^0_\mu (g^2T^3 - g'^2/2) - ie A_\mu (T^3+1/2) . \] \(\phi\)の共変微分は \begin{align*} D_\mu \phi &= \partial_\mu \phi - i\frac{g}{\sqrt{2}} (W^+_\mu T^+ + W^-_\mu T^-) \phi - i \frac{1}{\sqrt{g^2+g'^2}} Z^0_\mu (g^2T^3 - g'^2/2) \phi - ie A_\mu (T^3+1/2) \phi \\ % &= \partial_\mu \phi - i\frac{g}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} & W^+_\mu \\ W^-_\mu & \end{pmatrix} \phi - \frac{i}{2} Z^0_\mu \begin{pmatrix} \frac{g^2-g'^2}{\sqrt{g^2+g'^2}} & \\ & - \sqrt{g^2+g'^2} \end{pmatrix} \phi -i e A_\mu \begin{pmatrix} 1 & \\ & 0 \end{pmatrix} \phi \\ % &= \begin{pmatrix} -i \partial_\mu\phi^- \\ \partial_\mu(h+i\phi^3)/\sqrt{2} \end{pmatrix} - i\frac{g}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} W^+_\mu (v+h+i\phi^3)/\sqrt{2} \\ -i W^-_\mu \phi^- \end{pmatrix} \\ &\quad - \frac{i}{2} Z^0_\mu \begin{pmatrix} -i \frac{g^2-g'^2}{\sqrt{g^2+g'^2}} \phi^- \\[5pt] - \sqrt{g^2+g'^2} (v+h+i\phi^3)/\sqrt{2} \end{pmatrix} -i e A_\mu \begin{pmatrix} -i \phi^- \\ 0 \end{pmatrix} . \end{align*} (20.70)より \begin{align*} (D_\mu\phi)_1 &= - i\partial_\mu\phi^- - i\frac{g}{2} W^+_\mu (v+h+i\phi^3) - \frac{1}{2} \frac{g^2-g'^2}{\sqrt{g^2+g'^2}} Z^0_\mu \phi^- - eA_\mu\phi^- \\ % &= - i\partial_\mu\phi^- - i\frac{g}{2} W^+_\mu (v+h+i\phi^3) - \frac{g}{\cos\theta_w} \left( \frac{1}{2} - \sin^2\theta_w \right) Z^0_\mu \phi^- - eA_\mu\phi^- , \\ %% (D_\mu\phi)_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}} \partial_\mu(h+i\phi^3) - \frac{g}{\sqrt{2}} g W^-_\mu \phi^- + \frac{i}{2\sqrt{2}} \sqrt{g^2+g'^2} Z^0_\mu (v+h+i\phi^3) \\ % &= \frac{1}{\sqrt{2}} \partial_\mu(h+i\phi^3) - \frac{g}{\sqrt{2}} g W^-_\mu \phi^- + \frac{i}{2\sqrt{2}} \frac{g}{\cos\theta_w} Z^0_\mu (v+h+i\phi^3) . \end{align*} (20.111)のLagrangianは(20.63)(20.112)(20.114)から
